等比数列发表评论(0)编辑词条

    简介与公式
　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
　　（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
　　（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
　　Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　=(a1-a1q^n)/(1-q)
　　=(a1-an*q)/(1-q)
　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
　　(前提：q≠ 1)
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
　　等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
　　（5）无穷递缩等比数列各项和公式：
　　无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列 的前n 项和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。
    性质
　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
　　③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则
　　（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
　　（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
　　（4）按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列。
　　（5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
　　（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
　　(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
　　(8) 数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，
　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
　　(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
　　
求等比数列通项公式an的方法：

　　（1）待定系数法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an
　　构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）
　　a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3
　　所以a（n+1）+3/an+3=2
　　∴｛an+3｝为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
[编辑本段]等比数列的应用
　　等比数列在生活中也是常常运用的。
　　如：银行有一种支付利息的方式——复利。
　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
　　在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期