质数发表评论(0)编辑词条

    质数(又称为素数）
　　1.只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任 何其它两个整数的乘积。例如，15＝3×5，所以15不是素数；
　　又如，12 ＝6×2＝4×3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13×1以 外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
    质数的概念
　　一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。例如（10以内） 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。特别声明一点，1既不是质数也不是合数。为什么1不是质数呢?因为如果把1也算作质数的话,那么在分解质因数时,就可以随便添上几个1了。比如30，分解质因数是2*3*5，因为分解质因数是要把一个数写成质数的连乘积，如果把1算作质数的话，那么在这个算式中，就可以随便添上几个1了，分解质因数也就没法分解了。从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。（1不是质数，也不是合数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。质数中除2是偶数外，其他都是奇数。2000年前，欧几里德证明了素数有无穷多个。既然有无穷个，那么是否有一个通项公式？两千年来，数论学的一个重要任务，就是寻找一个可以表示全体素数的素数普遍公式和孪生素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。希尔伯特认为，如果有了素数统一的素数普遍公式，那么这些哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。
    质数的奥秘
　　质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。
　　有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41×41。
　　说起质数就少不了哥德巴赫猜想，即著名的“1+1”。哥德巴赫猜想 ：(Goldbach Conjecture)
　　内容为“所有的不小于6的偶数，都可以表示为两个奇素数之和”和“每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和”。
　　这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。“用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）
　　哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积，被称为“殆素数”意思是很像素数。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b"，那么哥氏猜想就是要证明"1＋1"成立，充分大的偶数陈景润是指10的5000000次方，即在10的后面加上500000个“0”。
　　1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。
　　到了20世纪20年代，有人开始向它靠近。1920年，挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比6大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”。
　　1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9+9 ”。
　　1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7 ”。
　　1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6+6 ”。
　　1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”。
　　1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5 ”。
　　1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4+4 ”。
　　1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c ”，其中c是一很大的自然数。
　　1956年，中国的王元证明了 “3+4 ”。
　　1957年，中国的王元先后证明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。
　　1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1+5 ”， 中国的王元证明了“1+4 ”。
　　1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3 ”。
　　1966年，中国的陈景润证明了 “1+2 ”[用通俗的话说，就是大偶数=素数+素数*素数或大偶数=素数+素数（注：组成大偶数的素数不可能是偶素数，只能是奇素数。因为在素数中只有一个偶素数，那就是2。）]。
　　其中“s + t ”问题是指: s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和
　　20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。保罗，赫夫曼在《阿基米德的报复》35页写道：殆素数和充分大是含糊不清的概念。
　　人们发现，如果去掉殆素数，（1+2）比（1+1）困难的多。(1+3)比（1+2）困难的多。
　　（1+1）是大于第一个素数“2”的1次方加1的偶数（即n>2+1)都是一个素数加上一个素数之和。
　　（1+2）是大于第二个素数“3”的2次方加1的偶数（即n〉3x3+1=10）都是一个素数加上二个素数乘积之和。例如12=3×3+3。
　　(1+3)是大于第三个素数“5”的3次方加1的偶数（即n〉5x5x5+1=126）都是一个素数加上三个素数乘积之和。例如128=5x5x5+3=5x5x3+53。小于128的偶数有21个不能够表示为（1+3），例如，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，36，42，54，72，96，114，120，126。
　　（1+4）是大于第四个素数“7”的4次方加1的偶数（即n〉7x7x7x7+1=2402）都是一个素数加上四个素数乘积之和。例如2404=2401+3。小于2044的偶数有几百个不能够表示（1+4）。
　　这是因为自然数数值越小，含素数个数多的合数越少。例如，100以内，有25个素数，有含2个素数因子的奇合数18个，含3个素数因子的合数有5个（27，45，63，75，99），含4个素数因子的合数仅1个（81）。实际上，哥德巴赫猜想只是这一类问题中难度最底端的问题。许多艰难的问题正等待人们去克服。
　　由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。
　　编辑者：郭威
    “质数”——Prime Number的几种英文解释
　　
　　1.In mathematics, a prime number (or prime) is a natural number greater than one whose only positive divisors are one and itself. Or for short: A prime number is a natural number with exactly two natural divisors. A natural number that is greater than one and is not a prime is called a composite number. The numbers zero and one are neither prime nor composite. The property of being a prime is called primality. Prime numbers are of fundamental importance in number theory. [From Wikipedia]
　　2.A whole number not divisible without a remainder by any whole number other than itself and one.（汉译：素数，质数：只能被其本身和一整除而没有余数的整数）[From American Heritage Dictionary]
　　3.any integer other than 0 or ± 1 that is not divisible without remainder by any other integers except ± 1 and ± the integer itself. [From The Merriam-Webster's Collegiate® Dictionary]
　　4.a number that can be divided only by itself and the number one. For example, three and seven are prime numbers.[From Longman Dictionary of Contemporary English]
    质数的性质
　　被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4294967297=641*6700417，并非质数，而是合数。
　　更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！
　　还有一种被称为“殆素数”的，意思是很像素数，著名数学家陈景润就使用了这个概念，他的“1+2”的“2”，就表示“殆素数”，实际上是一个合数。大家不要搞混了。严格地讲，“殆素数”不是一个科学概念，因为科学概念的特征是（1）精确性；（2）稳定性；（3）可以检验；（4）系统性；（5）专义性。例如，许多数学家使用了“充分大”，这也是一个模糊概念，因为陈景润把它定义为“10的50万次方”，即在1的后面加上50万个“0”。这是一个无法检验的数。
    质数的假设
　　17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、11、13、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
　　还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
    质数表上的质数
　　现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有12978189位的数：2^43112609-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
　　３００００以内的质数表
　　2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
　　53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
　　127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197
　　199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
　　283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379
　　383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
　　467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571
　　577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
　　661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761
　　769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
　　877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977
　　983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
　　1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187
　　1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291
　　1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427
　　1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
　　1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613
　　1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733
　　1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867
　　1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987
　　1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087
　　2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213
　　2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333
　　2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
　　2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557
　　2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687
　　2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789
　　2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
　　2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037
　　3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181
　　3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307
　　3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
　　3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539
　　3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643
　　3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769
　　3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907
　　3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019
　　4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139
　　4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261
　　4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409
　　4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523
　　4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657
　　4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793
　　4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937
　　4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5021 5023 5039
　　5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179
　　5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323
　　5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443
　　5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569
　　5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693
　　5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827
　　5839 5843 5849 5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939
　　5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091
　　6101 6113 6121 6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221
　　6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337
　　6343 6353 6359 6361 6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473
　　6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571 6577 6581 6599 6607 6619
　　6637 6653 6659 6661 6673 6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761
　　6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871
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　　29927 29947 29959 29983 29989
   【求大质数的方法】
　　研究发现质数除2以外都是奇数，而奇数除了【奇数*奇数】(或再加“*奇数”）都是质数。那么用计算机先把【奇数*奇数】(或再加“*奇数”）（比如9，15，21，25，27，33，35，39……）都求出来，再找奇数中上面没提到的那些数，那些数就是素数。
　　人们找出的几个超大质数中有遗漏，那么就可以用此方法求出那些遗漏的数，不过需要很长时间！
　　这对于“孪生素数”有帮助喔！
　　上面这个算法比较麻烦，对于求很大的素数效率低下，这个很大的素数可以用概率算法求。
　　求素数，请用《公理与素数计算》。这种方法用不着将所有奇数都写出来，而且计算出来的素数可以做到一个不漏。对于合数的删除，也不是涉及所有奇合数，删除是准确无误的，删除奇合数后剩余的全部是素数。如：对奇素数3的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除一个数；对素数5的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除2个数；对素数7的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除8个数；以此类推，如果哪位老师能够将它用电脑编成程序，对计算素数有很大的帮助。
    【质数的个数】
　　有近似公式： x 以内质数个数约等于 x / ln(x)
　　ln是自然对数的意思。
　　19世纪，人们证明了:"在x与2x,(x∈R.)之间一定存在质数以及 "kx+b ,(x,k,b∈R.)中存在无穷多的质数" 但另一个猜想x^2与(x+1)^2,(x∈R.)之间一定存在质数,仍未被证明。
　　尚准确的质数公式未给出。
　　10 以内共 4 个质数。
　　100 以内共 25 个质数。
　　1000 以内共 168 个质数。
　　10000 以内共 1229 个质数。
　　100000 以内共 9592 个质数。
　　1000000 以内共 78498 个质数。
　　10000000 以内共 664579 个质数。
　　100000000 以内共 5761455 个质数。
　　......
　　总数无限。
    【求质数的方法】
　　古老的筛法可快速求出100000000以内的所有素数（质数）。
　　筛法，是求不超过自然数N（N＞1）的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，约公元前274～194年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。
　　具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每要划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。）