对数发表评论(0)编辑词条

[编辑本段]对数的概念
　　英语名词：logarithms
　　如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。
　　log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。
[编辑本段]对数的性质及推导
　　定义：
　　若a^n=b(a>0且a≠1)
　　则n=log(a)(b)
　　基本性质：
　　1、a^(log(a)(b))=b
　　2、log(a)(a^b)=b
　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　6、log(a^n)M=log(a)(M)/n
　　推导
　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
　　2、因为a^b=a^b
　　令t=a^b
　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
　　3、MN=M×N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
　　4、与（3）类似处理
　　MN=M÷N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
　　5、与（3）类似处理
　　M^n=M^n
　　由基本性质1(换掉M)
　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　基本性质4推广
　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
　　推导如下：
　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　由基本性质4可得
　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）
[编辑本段]函数图象
　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.
　　2.对于y=log(a)(n)函数,
　　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=-1.
　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
[编辑本段]其他性质
　　性质一：换底公式
　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
　　推导如下：
　　N = a^[log(a)(N)]
　　a = b^[log(b)(a)]
　　综合两式可得
　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　又因为N=b^[log(b)(N)]
　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
　　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
　　证明如下：
　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数
　　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1
　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1, lg100=lg10^2=2, lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。