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二次函数发表评论(0)编辑词条

概述
二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
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定义与定义表达式
二次函数的图像
抛物线的性质
二次函数与一元二次方程
中考典例 
 [编辑本段]定义与定义表达式
  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
  一般式:y=ax^2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
  顶点式:y=a(x-h)^2+k或y=a(x+m)^2+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)
  交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)
  重要概念:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  x是自变量,y是x的二次函数
  x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式
  求根的方法还有十字相乘法和配方法
[编辑本段]二次函数的图像
  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像,
  可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像
  如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。
[编辑本段]抛物线的性质
  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
  2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
  |a|越大,则抛物线的开口越小。
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
  事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
  抛物线与y轴交于(0,c)
  6.抛物线与x轴交点个数
  Δ= b^2;-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
  Δ= b^2;-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
  _______
  Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
  当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b&sup2;/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
  当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
  7.特殊值的形式
  ①当x=1时 y=a+b+c
  ②当x=-1时 y=a-b+c
  ③当x=2时 y=4a+2b+c
  ④当x=-2时 y=4a-2b+c
  8.定义域:R
  值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)
  奇偶性:偶函数
  周期性:无
  解析式:
  ①y=ax^2+bx+c[一般式]
  ⑴a≠0
  ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
  ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
  ⑷Δ=b^2-4ac,
  Δ>0,图象与x轴交于两点:
  ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
  Δ=0,图象与x轴交于一点:
  (-b/2a,0);
  Δ<0,图象与x轴无交点;
  ②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
  此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;
  ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
  对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X的增大而减小
  此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。
[编辑本段]二次函数与一元二次方程
  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
  当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
  即ax^2+bx+c=0
  此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
  函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
  1.二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
  解析式
  y=ax^2;
  y=ax^2+K
  y=a(x-h)^2;
  y=a(x-h)^2+k
  y=ax^2+bx+c
  
  顶点坐标
  (0,0)
  (0,K)
  (h,0)
  (h,k)
  (-b/2a,4ac-b^2/4a)
  
  对 称 轴
  x=0
  x=0
  x=h
  x=h
  x=-b/2a
  
  当h>0时,y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到,
  当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
  当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
  当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象;
  当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)&sup2;+k的图象;
  当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象;在向上或向下.向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。
  因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2;+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
  2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2;]/4a).
  3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.
  4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
  (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
  (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
  (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标)
  当△=0.图象与x轴只有一个交点;
  当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
  5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
  顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
  6.用待定系数法求二次函数的解析式
  (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
  y=ax^2+bx+c(a≠0).
  (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
  (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
  7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
[编辑本段]中考典例
  1.( 北京东城区)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
  甲:对称轴是直线x=4;
  乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
  丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
  请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: .
  考点:二次函数y=ax^2+bx+c的求法
  评析:设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2),且设x1<x2,则其图象与x轴两交点分别是A(x1,0),B(x2,0),与y轴交点坐标是(0,ax1x2). 『因为交点式a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0,所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2
  ∵抛物线对称轴是直线x=4,
  ∴x2-4=4 - x1即:x1+ x2=8 ① ∵S△ABC=3,∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3,
  即:x2- x1= ②
  ①②两式相加减,可得:x2=4+,x1=4-
  ∵x1,x2是整数,ax1x2也是整数,∴ax1x2是3的约数,共可取值为:±1,±3。
  当ax1x2=±1时,x2=7,x1=1,a=±
  当ax1x2=±3时,x2=5,x1=3,a=±
  因此,所求解析式为:y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
  即:y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
  说明:本题中,只要填出一个解析式即可,也可用猜测验证法。例如:猜测与x轴交点为A(5,0),B(3,0)。再由题设条件求出a,看C是否整数。若是,则猜测得以验证,填上即可。
  2.( 安徽省)心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系:y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30)。y值越大,表示接受能力越强。
  (1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?
  (2)第10分时,学生的接受能力是什么?
  (3)第几分时,学生的接受能力最强?
  考点:二次函数y=ax^2+bx+c的性质。
  评析:将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为:y=-0.1(x-13)2+59.9,根据抛物线的性质可知开口向下,当x<13时,y随x的增大而增大,当x>13时,y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为:0<x3<0,所以两个范围应为0<x<13;13<x<30。将x=10代入,求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下:
  解:(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
  所以,当0<x<13时,学生的接受能力逐步增强。
  当13<x<30时,学生的接受能力逐步下降。
  (2)当x=10时,y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
  第10分时,学生的接受能力为59。
  (3)x=13时,y取得最大值,
  所以,在第13分时,学生的接受能力最强。
  3.( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:
  (1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
  (2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围);
  (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
  解:(1)当销售单价定为每千克55元时,月销售量为:500–(55–50)×10=450(千克),所以月销售利润为
  :(55–40)×450=6750(元).
  (2)当销售单价定为每千克x元时,月销售量为:[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元,所以月销售利润为:
  y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元),
  ∴y与x的函数解析式为:y =–10x^2+1400x–40000.
  (3)要使月销售利润达到8000元,即y=8000,∴–10x2+1400x–40000=8000,
  即:x2–140x+4800=0,
  解得:x1=60,x2=80.
  当销售单价定为每千克60元时,月销售量为:500–(60–50)×10=400(千克),月销售成本为:
  40×400=16000(元);
  当销售单价定为每千克80元时,月销售量为:500–(80–50)×10=200(千克),月销售单价成本为:
  40×200=8000(元);
  由于8000<10000<16000,而月销售成本不能超过10000元,所以销售单价应定为每千克80元.
  5.2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势,全市实现生产总值 元,已知全市生产总值=全市户籍人口×全市人均生产产值,设义乌市2006年户籍人口为x(人),人均生产产值为y(元).
  (1)求y关于x的函数关系式;
  (2)2006年义乌市户籍人口为706 684人,求2006年义乌市人均生产产值(单位:元,结果精确到个位):若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计(1美元=7.96元人民币),义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关?
  6.下图1为义乌市2005年,2006年城镇居民人均可支配收入构成条形统计图。图2为义乌市2006年城镇居民人均可支配收入构成扇形统计图,城镇居民个人均可支配收入由工薪收入、经营净收入、财产性收入、转移性收入四部分组成。请根据图中提供的信息回答下列问题:
  (1)2005年义乌市城镇居民人均工薪收入为________元,2006年义乌市城镇居民人均可支配收入为_______元;
  (2)在上图2的扇形统计图中,扇形区域A表示2006年的哪一部分收入:__________.
  (3)求义乌市2005年到2006年城镇居民人远亲中支配收入的增长率(精确到0.1℅)
  7.解:(1) (x为正整数)
  (2)2006年全市人均生产产值= (元)(2分)
  我市2006年人均生产产值已成功跨越6000美元大关(1分)

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