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钢铁百科 - 钢之家

一元二次方程发表评论(0)编辑词条

    定义
  在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。
  一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高项的次数和是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化为一般形式:ax^2+bx+c=0时,应满足(a≠0)
[编辑本段]补充说明:
  1、该部分的只是为初等数学知识,一般在初三学习。
  2、该部分是高考的热点。
  3,方程的两根与方程中各数有如下关系:X1+X2= -b/a X1*X2=c/a(也称韦达定理)
[编辑本段]一般形式
  ax^2+bx+c=0(a、b、c是实数a≠0)
  例如:x^2+2x+1=0
[编辑本段]一般解法
  1.配方法(可解全部一元二次方程)
  如:解方程:x^2+2x-3=0
  解:把常数项移项得:x^2+2x=3
  等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4
  因式分解得:(x+1)^2=4
  解得:x1=-3,x2=1
   用配方法解一元二次方程小口诀
  二次系数化为一
  常数要往右边移
  一次系数一半方
  两边加上最相当
  2.公式法(可解全部一元二次方程)
  其公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
  3.因式分解法(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
  如:解方程:x^2+2x+1=0
  解:利用完全平方公式因式分解得:(x+1)^2=0
  解得:x1=x2=-1
  4.开方法(可解全部一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的,不过要一般形式)
  5.代数法(可解全部一元二次方程)
  ax^2+bx+c=0
  同时除以a,可变为x^2+bx+c=0
  设:x=y-b/2
  方程就变成:(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0
  再变成:y^2+(b^2*3)/4+c=0
  y=±√[(b^2*3)/4+c]
  如何选择最简单的解法:
  1、看是否可以直接开方解;
  2、看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法);
  3、使用公式法求解;
  4、最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。
  一、知识要点:
  一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视。
  一元二次方程的一般形式为:ax^2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程。
  解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法;5,代数法
  二、方法、例题精讲:
  1、直接开平方法:
  直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m±√n
  例1.解方程(1)(3x+1)^2=7 (2)9x^2-24x+16=11
  分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
  (1)解:(3x+1)^2=7
  ∴(3x+1)^2=7
  ∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
  ∴x= ...
  ∴原方程的解为x1=...,x2= ...
  (2)解: 9x^2-24x+16=11
  ∴(3x-4)^2=11
  ∴3x-4=±√11
  ∴x= ...
  ∴原方程的解为x1=...,x2= ...
  2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
  先将固定数c移到方程右边:ax^2+bx=-c
  将二次项系数化为1:x^2+(b/a)x=-c/a
  方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x^2+(b/a)x+0.5(b/a)^2=-c/a+0.5(b/a)^2
  方程左边成为一个完全平方式:[x+0.5(b/a)]^2=-c/a+0.5(b/a)^2
  当b2-4ac≥0时,x+ =± √[-c/a+0.5(b/a)^2 ]-0.5(b/a)
  ∴x=...(这就是求根公式)
  例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
  解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
  将二次项系数化为1:x^2-x=
  方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-x+( )^2= +( )^2
  配方:(x-)^2=
  直接开平方得:x-=±
  ∴x=
  ∴原方程的解为x1=,x2= .
  3.公式法:把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
  当b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a(两个不相等的实数根)
  当b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a(两个相等的实数根)
  当b^2-4ac<0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a(两个虚数根)(初中理解为无实数根)
  例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5
  解:将方程化为一般形式:2x^2-8x+5=0
  ∴a=2, b=-8, c=5
  b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
  ∴x= = =
  ∴原方程的解为x1=,x2= .
  4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
  例4.用因式分解法解下列方程:
  (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
  (3) 6x^2+5x-50=0 (选学) (4)x^2-4x+4=0 (选学)
  (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
  x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
  (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
  ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
  ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
  (2)解:2x^2+3x=0
  x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
  ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
  ∴x1=0,x2=...是原方程的解。
  注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
  (3)解:6x2+5x-50=0
  (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
  ∴2x-5=0或3x+10=0
  ∴x1=..., x2=... 是原方程的解。
  (4)解:x^2-4x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
  (x-2)(x-2 )=0
  ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
  小结:
  一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
  直接开平方法是最基本的方法。
  公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
  配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
  例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
  (1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0 (2)x^2+2x-3=0
  (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
  分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
  (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
  (3)化成一般形式后利用公式法解。
  (4)把方程变形为 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
  (1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
  [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
  (5x-5)(-x+13)=0
  5x-5=0或-x+13=0
  ∴x1=1,x2=13
  (2)解: x^2+2x-3=0
  [x-(-3)](x-1)=0
  x-(-3)=0或x-1=0
  ∴x1=-3,x2=1
  (3)解:x^2-2 x=-
  x^2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
  △=(-2 )^2-4 ×=12-8=4>0
  ∴x=
  ∴x1=,x2=
  (4)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
  4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
  [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
  2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
  ∴x1= ,x2=
  例6.求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。 (选学)
  分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法)
  解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
  即 (5x-5)(2x-3)=0
  ∴5(x-1)(2x-3)=0
  (x-1)(2x-3)=0
  ∴x-1=0或2x-3=0
  ∴x1=1,x2=是原方程的解。
  例7.用配方法解关于x的一元二次方程x^2+px+q=0
  解:x^2+px+q=0可变形为
  x^2+px=-q (常数项移到方程右边)
  x^2+px+( )2=-q+( )2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
  (x+)2= (配方)
  当p^2-4q≥0时,≥0(必须对p^2-4q进行分类讨论)
  ∴x=- ±=
  ∴x1= ,x2=
  当p^2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
  说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求,必要时进行分类讨论。
  练习:
  (一)用适当的方法解下列方程:
  1. 6x^2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
  3. x^2-x=0 4. x^2-4x+4=0
  5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
  (二)解下列关于x的方程
  1.x^2-ax+-b2=0 2. x^2-( + )ax+ a2=0
  练习参考答案:
  (一)1.x1=-1/2 ,x2=2/3 2.x1=2,x2=-2
  3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
  6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
  [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
  即 (2x+9)(2x+2)=0
  ∴2x+9=0或2x+2=0
  ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
  (二)1.解:x^2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x^2-(+ )ax+ a· a=0
  [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
  ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
  ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
  原方程的解。 原方程的解。
  测试(有答案在下面)
  选择题
  1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
  A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
  2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
  A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
  3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个根是( )。
  A、0 B、1 C、-1 D、±1
  4. 一元二次方程ax^2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
  A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
  C、b=0且c=0 D、c=0
  5. 方程x^2-3x=10的两个根是( )。
  A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
  6. 方程x^2-3x+3=0的解是( )。
  A、 B、 C、 D、无实根
  7. 方程2x^2-0.15=0的解是( )。
  A、x= B、x=-
  C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
  8. 方程x^2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
  A、(x-)2= B、(x- )2=-
  C、(x- )2= D、以上答案都不对
  9. 已知一元二次方程x^2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
  A、(x-1)^2=m2+1 B、(x-1)^2=m-1 C、(x-1)^2=1-m D、(x-1)^2=m+1
  答案与解析
  答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
  解析:
  1.分析:移项得:(x-5)^2=0,则x1=x2=5,
  注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
  2.分析:依题意得:a^2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
  3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax^2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1时,方程成立,则必有根为x=1。
  4.分析:一元二次方程 ax^2+bx+c=0若有一个根为零,则ax^2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
  5.分析:原方程变为 x^2-3x-10=0,
  则(x-5)(x+2)=0
  x-5=0 或x+2=0
  x1=5, x2=-2.
  6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
  7.分析:2x2=0.15
  x2=
  x=±
  注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
  8.分析:两边乘以3得:x^2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x^2-3x+(-)2=12+(- )^2,
  整理为:(x-)2=
  方程可以利用等式性质变形,并且 x^2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
  9.分析:x^2-2x=m, 则 x^2-2x+1=m+1
  则(x-1)^2=m+1.
  中考解析
  考题评析
  1.(甘肃省)方程的根是( )
  (A) (B) (C) 或 (D) 或
  评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
  二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为C。
  另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
  2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
  评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
  3.(辽宁省)方程的根为( )
  (A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
  评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
  4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
  评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
  5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
  (A)x=3+2 (B)x=3-2
  (C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
  评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方根,即可选出答案。
  课外拓展
  一元二次方程
  一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0)
  在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使
  x=1, x+ =b,
  x^2-bx+1=0,
  他们做出( )2;再做出 ,然后得出解答:+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的。
  埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax^2=b。
  在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
  希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。
  公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公式。
  在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
  韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系。
  我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
[编辑本段]判别方法
  一元二次方程的判断式:
  b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根.
  b^2-4ac=0 方程有两个相等的实数根.
  b^2-4ac<0 方程有两个共轭的虚数根(初中可理解为无实数根).
  上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.
[编辑本段]列一元二次方程解题的步骤
  (1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
  (2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
  (3)找出相等关系,并用它列出方程;
  (4)解方程求出题中未知数的值;
  (5)检验所求的答案是否符合题意,并做答.
[编辑本段]经典例题精讲
  1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
  2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
  3.一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
  4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
[编辑本段]韦达定理
  韦达(Vieta's ,Francois,seigneurdeLa Bigotiere)1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律,后任律师,1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码,赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。
  他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。
  韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
  韦达定理(Viete's Theorem)的内容
  一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
  设两个根为X1和X2
  则X1+X2= -b/a
  X1*X2=c/a
  韦达定理的推广
  韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0
  它的根记作X1,X2…,Xn
  我们有
  ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
  ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
  …
  ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
  其中∑是求和,Π是求积。
  如果一元二次方程
  在复数集中的根是,那么
  法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
  由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
  在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
  其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
  韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
  韦达定理的证明
  设x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
  有:a(x-x1)(x-x2)=0
  所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
  通过对比系数可得:
  -a(x1+x2)=b ax1x2=c
  所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
  韦达定理推广的证明
  设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
  则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
  所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
  通过系数对比可得:
  A(n-1)=-An(∑xi)
  A(n-2)=An(∑xixj)
  …
  A0==(-1)^n*An*ΠXi
  所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
  ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
  …
  ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
  其中∑是求和,Π是求积。
[编辑本段]计算机解一元二次方程
  
VB实现方法

  '该代码仅可实现一般形式的求值,并以对话框形式显示。
  '看不懂就不要看了
  dim a,b,c,i
  '在这里添加a、b、c的赋值过程
  '例如:a=text1.text
  'b=text2.text
  'c=text3.text
  '以上代码为负值
  if a <> 0 and b <> 0 and c<> 0 then
  if a*2 <> 0 then
  i=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/2
  msgbox i
  i=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/2
  msgbox i
  else
  msgbox("2a为零")
  end if
  else
  msgbox("请输入数据")
  end if

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