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弹-塑性有限元法发表评论(0)编辑词条

  弹-塑性有限元法(elastic-plastic finite element method)

适于弹一塑性材料按画分有限个单元所建立的数值解法。塑性加工问题的弹一塑性有限元法,属非线性有限元法。弹一塑性有限元法分小变形和大变形两种。小变形弹一塑性有限元法用于小位移、小变形情况,认为物体几何形状只产生无限小变化,应变与位移为线性关系。大变形弹一塑性有限元法用于大位移、大应变情况。由于物体产生了有限变形,大变形弹一塑性有限元计算须依据有限变形理论,考虑几何和材料双重非线性。小变形弹一塑性有限元法是最早应用于金属塑性加工分析的。1968年山田嘉昭等首先推出弹一塑性本构矩阵式,并用于实例分析。1976年长松昭男等用此法分析了圆柱体加工。以后又有多人对拉拔、挤压和轧制等过程进行分析。这种方法可以获得变形体内应力分布等信息。但只适于分析金属成形初期,当变形量增大会出现明显误差。

大变形弹一塑性有限元法的拉格朗日计算列式由希比特(H.D.Hibbitt)于1970年提出。接着麦克米金(R.M.McMeeking)等用欧拉法给出了大变形弹一塑性有限元列式。以后此方法不断完善,并用来分析许多塑性加工问题,如中国燕山大学刘才等分析了三维轧制过程,取得了较好的效果。

采用弹一塑性有限元法分析金属成形问题,能按变形路径得到塑性区发展情况、工件内的应力和应变分布以及几何形状的变化,并能处理卸载问题,计算残余应变和应力,分析产品缺陷产生的原因,寻求防止缺陷的措施。弹一塑性有限元法的不足之处是计算量大。

小变形弹一塑性有限元法 应变与位移的几何关系同弹性有限元一样,B矩阵与一般线性有限元形式相同。采用增量理论按普朗特-罗伊斯(Prandtl-Reuss)塑性流动理论建立应力增量dσij和应变增量dεkl之间的本构关系为dσij=Dijkldεkl,Dijkl倒是弹一塑性矩阵(见弹一塑性变分原理)与应力状况有关,属非线性。平衡方程为

小变形弹一塑性有限元的平衡方程式是非线性的。先用适当方法使其线性化,然后用解线问题的方法进行求解。一般有逐步加载法、叠代法和混合法。

逐步加载法在每次加载时调整刚度,用此刚度按线性关系计算每增量步的位移增量、应变和应力增量,然后叠加到前一步的应变和应力水平上去,重新计算刚度矩阵,进行下一个增量步计算,直到求得整个弹一塑性问题的解。根据采用的刚度矩阵形式,可分为切线刚度法和割线刚度法。

叠代法是对变形体施加载荷   采用某一近似刚度矩阵求出初步位移解,根据此解计算应力和相应的载荷,并用载荷的差值继续计算附加位移增量,按上述步骤进行叠代,直到附加位移小到某一许可值为止。把所有的位移叠加起来,即得到要求的解。根据刚度矩阵的形式不同可分为直接叠代法、牛顿法、修正牛顿法和拟牛顿法等。混合法把逐步加载法和叠代法同时使用,在某一增量步内进行叠代以提高计算精度。

大变形弹一塑性有限元法 大变形理论中,物体变形的描述有两种方法:拉格朗日法和欧拉法。拉格朗日法追随质点研究物体的变形,质点以在某一构形下的位置标记,称为物质坐标系或拉格朗日坐标系。此构形称初始构形。欧拉法以空间固定的坐标(欧拉坐标系)来描述质点的运动,其坐标随质点和时间而变化。物体在任一时刻的构形称现时构形。

物体的现时坐标xi相对于物质坐标的偏导数δxi/δxj称变形梯度。它把参考构形中质点Xj的邻域映射到现时构形xi的一个邻域,刻划了整个变形(线元的伸缩和转动)。它是有限变形理论的重要物理量。

大变形有限元中,应变张量有两种表示形式:以初始构形定义的格林应变张量和以当前构形为参考构形的阿尔曼西应变张量(见应变张量)。应力张量根据定义方式不同有3种形式:柯西应力张量(有时称欧拉应力张量),拉格朗日应力张量和克希霍夫应力张量。为保证应力不受刚体转动的影响,在本构关系中采用耀曼应力率:

式(1)的左端为变形能,右端是体积力F和表面p在虚位移δui上做的虚功。在分析金属成形大变形过程时也常用欧拉描述法并忽略弹性体积微小变化的增量虚功率方程(见虚功原理)由此方程出发可得如下的平衡方程:

Ku = R

式中K为刚度矩阵,它由小变形弹一塑性刚度矩阵和初应力刚度矩阵组成;u为节点速度列阵。

欧拉描述的虚功方程式(1)可按变换规则转化为拉格朗日描述的虚功方程,并由此可得如下的平衡方程式:

K(u)u = R

式中K(u)称刚度矩阵,由3部分组成:K(u)=KL+KN+KS。KL与小变形刚度矩阵相同;KN由大位移引起,称大位移矩阵;KS由应力状态引起,称初应力矩阵。在实际计算中根据每一增量步选取的参考构形不同,又分为完全的拉格朗日法(T.L法)和修正的拉格朗日法(U.L法)。

在计算B矩阵时,上述拉格朗日法中所用格林应变与位移关系是非线性的,计算十分复杂。可使参考构形瞬时与现时构形重合(流动坐标),用欧拉描述中应变速率与速度的线性关系,代替格林应变以简化计算。对格林应变的另一种简化是采用与转动无关的线性应变增量△εER代替格林应变增量。此应变增量不大于3%,转角不大于10。时与格林应变增量几乎有相同的精度。

在实际计算中尚有工具与工件的接触摩擦问题、静水压力的计算、平均节点应力的精确求值、各种塑性加工过程边界条件的模拟等要进行处理。这些问题已有一些解决方法,但圆满的解决仍在探索之中。例如对接触摩擦的处理是在虚功方程中加入摩擦力作功一项,摩擦力大小按库仑摩擦理论或剪切应力摩擦理论来计算,或者用摩擦层方法,即在与工具接触的工件表面上加一摩擦层单元以模拟金属表面的摩擦力。

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标签: 弹-塑性

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